Question

有关高数的问题

已知，f（x）在闭区间a，b内除c点外连续，且x=c是第一类间断点，请问f（x）在区间a到b内是否一定存在原函数还是一定不存在原函数。
应该是一定不存在吧，那么什么样类型的间断点是存在原函数的，谢谢

Answer 1

一定不存在原函数。
记住：具有第一类间断点的函数一定不存在原函数。
具有第二类间断点的函数可能存在原函数。但也不是一定的。
连续函数一定存在原函数。
补充一点：具有有限个第一类间断点的有界函数一定是可积的。要把存在原函数和可积联系起来思考。

追问

存在原函数和可积是一个意思吗

追答

不是一个意思的。你还没有学到定积分吧。学到了老师一定会问这个问题。比如：
可积一定存在原函数，存在原函数一定可积。
原函数不存在一定不可积，不可积一定不存在原函数。
这四个问题。可积是指被积函数在某个区间上积分是存在的。

追问

您能不能说的具体点，可积是指被积函数在某个区间上积分是存在的是什么意思，我怎么理解着

存在原函数和可积是一个意思？

追答

a,到b上积分∫f(x)dx，这是一个定积分，定积分学过没？定积分的定义是一个极限，如果这个极限存在，那么就说函数f(x)在a,b上是可积的。
举个简单的例子，分段函数：f(x)=1,x＞0,f(x)=0，x≤0,这个函数是分段函数，在[-1,1]上没有原函数。但是这个函数在[-1,1]上定积分是存在的。也就是我们说的可积。