Question

已知：如图，点M在x轴正半轴上，⊙M交坐标轴于A、B、C、D点，A（-1，0），C（0， √3） 的值；

已知：如图，点M在x轴正半轴上，⊙M交坐标轴于A、B、C、D点，A（-1，0），C（0， √3）的值；点P为优弧CBD上一动点，连接PC、PA、PD，在PA上取点G使得GA=AC，求 PC+PD-CD/PG的值．

Answer 1

(1)可从特殊到一般的方法分析，知QF=2DN,且QF⊥DN;
QF⊥DN,且QF=2DN。理由：
延长DQ到点S,使NS＝DN,且DN交QF于H点，易证△ESN△PDN,
∴∠S=∠QDP,ES=DP
由垂径定理可得弧AD=弧AC，又E为弧AC的中点可提∠P=∠SEP=45度。
连接ED,FD,∵D为弧EF的中点，∴弧DF=弧DE，∴∠EDF=90度。DE=DF
又∠QDP=90度，∴∠DQP=45度，∴∠DPQ=∠DQP
∴DQ=DP ∴DQ=ES
∵∠FDP+∠DEP=∠DPE=45度，
∴∠QDF=∠90度－∠FDP＝90度－（45度－∠DEP）=45度+∠DEP
又∠SED=∠SEP+∠DPE=45度+∠DEP=∠QDF
∴△ESD≌△DQF
∴DF=DS=NS+DN=2DN
∠S=∠DQF
又∠SDP+∠QDS=∠QDP=90度
∴∠FQD+∠QDS=90度
∴在三角形DQH中，∠DHQ=90度
（2）连接AD,DG,CG，过点G分别作GR⊥PC于R,GT⊥DP于T,GW⊥CD于W,由（1）可知∠CPD＝60度，∠CAD=120度,∠ACD=∠ADC=∠CPA=∠DPA=30度
∵AC=AG＝AD,
∴∠ACG=∠AGC,
又∠ACG=∠ACD+∠GCD=30度+∠GCD
∠AGC=∠APC+∠PCG=30度+∠PCG
∴∠GCD=∠PCG,又∠CPA=∠DPA=30度
点G是△CDP两条角平分线的交点。
∴点G为△CDP的内切圆的圆心，
即点W,R,T为切点，由切线长定理得
CR=CW;DW=DT;PR=PT
∴(PC+PD-CD)/PG=(CR+PR+PT+DT-CW-DW)/PG=2PR/PG
在RT△PRG中，
∠RPG＝30度，由勾股定理可得：
∴PR/PG=√3/2

∴2PR/PG=√3
∴(PC+PD-CD)/PG=√3

Answer 2

连接AD,DG,CG，过点G分别作GR⊥PC于R,GT⊥DP于T,GW⊥CD于W,由（1）可知∠CPD＝60⁰，∠CAD=120⁰,∠ACD=∠ADC=∠CPA=∠DPA=30⁰

∵AC=AG＝AD,

∴∠ACG=∠AGC,

又∠ACG=∠ACD+∠GCD=30⁰+∠GCD

∠AGC=∠APC+∠PCG=30⁰+∠PCG

∴∠GCD=∠PCG,又∠CPA=∠DPA=30⁰

点G是△CDP两条角平分线的交点。

∴点G为△CDP的内切圆的圆心，

即点W,R,T为切点，由切线长定理得

CR=CW;DW=DT;PR=PT

∴ PC+PD-CD/PG=((CR+PR)+(PT+DT)-(CW+DW))/PR=2PR/PR

 

在RT△PRG中，

∠RPG＝30⁰，由勾股定理可得：

PR/PG=√3/2

∴PC+PD-CD/PG=√3

Answer 3

设M(m,0),由MA=MC得(m+1)^2=m^2+3,2m=2,m=1,
∴设P(1+2cost,2sint),其中1+2cost>0,
向量AP=(2+2cost,2sint),
∴|AP|^2=8+8cost,|AP|=2√(2+2cost),
|AG|=|AC|=2,|CD|=2√3，
向量CP=(1+2cost,2sint-√3),DP=(1+2cost,2sint+√3),
|CP|^2=8+4cost-4√3sint,
|CP|=2√(2+cost-√3sint),
|DP|=2√(2+cost+√3sint),
∴( PC+PD-CD)/PG=[√(2+cost-√3sint)+√(2+cost+√3sint)-√3]/[√(2+2cost)-1].?