Question

已知数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}的前n项和为Tn,{bn}为等差数列且各项均为正数

已知数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}的前n项和为Tn,{bn}为等差数列且各项均为正数，a1=1，an+1=2Sn+1（n属于N*），b1+b2+b3=15
（1）求数列｛an｝的通项公式；
（2）若a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，求1/T1 +1/T2+……1/Tn

Answer 1

（1）a(n+1)=2Sn+1
an=2S(n-1)+1
两式相减，得：a(n+1)-an=2(Sn-S(n-1))=2an
a(n+1)=3an
a1=1
所以{an}是以1为首项，3为公比的等比数列
an=3^(n-1)

（2）因为{bn}是等差数列
所以b1+b2+b3=3b2=15
b2=5
b1=5-d b3=5+d
因为a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列
a1+b1=6-d a2+b2=8 a3+b3=14+d
64=(6-d)(14+d)
d^2+8d-20=0
(d+10)(d-2)=0
d=2或-10（舍去，因为{bn}是正项数列，公差d必然>=0）
所以b1=3 b2=5 b3=7
bn=3+2(n-1)=2n+1
Tn=(3+2n+1)*n/2=n(n+2)
1/Tn=1/n(n+2)=1/2*[1/n-1/(n+2)]
所以1/T1+1/T2+...+1/Tn
=1/2*[1-1/3+1/2-1/4+1/3-1/5+...+1/(n-1)-1/(n+1)+1/n-1/(n+2)]
=1/2*[1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2)]
=3/4-(2n+3)/2(n+1)(n+2)

Answer 2

(1)因为a(n+1)=2sn+1
所以Sn=[a(n+1)-1]/2
an=Sn-Sn-1=[a(n+1)-an]/2
a(n+1)=3an等比数列
(2)a1=1,a2=3,a3=9
设{bn}的公差为d
则(3+b2)^2=(1+b2-d)(9+b2+d)
T3=3b2=15
根据以上两式得b2=5 d=-10（舍去）或d=2
所以b1=3
Tn=nb1+d/2*n(n-1)=3n+n(n-1)=n^2+2n
1/Tn=1/(n²+2n)=1/n(n+2)=[1/n-1/(n+2)]/2
1/T1 +1/T2+……1/Tn==[1/1-1/(1+2)]/2+[1/2-1/(2+2)]/2+...+[1/n-1/(n+2)]/2
=[(1-1/3)+(1/2-1/4)+(1/3-1/5)+...+(1/(n-1)-1/(n+1))+(1/n-1/(n+2))]/2
=[1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2)]/2
=3/4-(2n+3)/2(n+1)(n+2)