Question

f(x)=lnx+ax²+bx 1.如果 f(x)在x=1处取极值为0，求实数a,b.

Answer 1

∵函数f(x)=lnx+ax^2+bx(a,b为常数且a不等于0)在x=1处取得极值。
显然f(x)连续且在从0开始时为递增函数
∴f '(x)=1/x+2ax+b,在x=1处值为0。即1+2a+b=0,∴b=-2a-1
函数f(x)=lnx+ax^2+bx在x=1处取得极大值0，
则f(1)=ln1+a-2a-1=0，∴a=-1
b=-2a-1=2-1=1
所以a=-1，b=1.

追问

谢谢，2.若b=-2a-1,求函数f(x)的单调区间

追答

若b=-2a-1
f '(x)=1/x+2ax+b=1/x+2ax-2a-1=(x-1)(2a-1/x)，
∴f(x)的极值点是x=1,x=1/(2a）[此时必须 a>0]
后面探讨a的范围，看在各个区间导数的正负情况判断单调性。