Question

已知函数f(x)对任意x,y∈R，总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x＞0时，f﹙x﹚＜0,f(1)=-2／3

求证：1.f﹙x﹚是R上的单调递减函数；
2.求f﹙x﹚在[-3,3]上的最小值。

Answer 1

1. 对于任意x1>x2，则x1-x2>0，因为当x>0时，f(x)<0，所以f(x1-x2)<0，所以f(x1)=f(x2)+f(x1-x2)<f(x2)，即f(x1)<f(x2)，所以f(x)是R上的单调递减函数。

2. 由于该函数在R上单调递减，所以f(x)在[-3，3]上的最小值为f(3)，f(3)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1)+f(1)=-2
   

Answer 2

1)证明：设x2>x1,则x2-x1>0,根据当x>0时,f(x)<0，有f(x2-x1)<0而f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1)即f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)<0说明函数是减函数！2)再来证明函数的奇偶性！令x=y=0,则f(0)=2f(0)故f(0)=0令x+y=0,x,y不为0，有y=-x则有f(0)=f(x)+f(-x)=0说明f(x)=-f(-x)函数是奇函数！！图像关于原点对称！只需求出在[0,3]上的最值即可求出整个区间的最值！注意到函数是减函数，于是只需求出f(0),f(3)(f(0)已经求出)令x=y=1则f(2)=2f(1)=2*(-2/3)=-4/3令x=1,y=2则f(3)=f(1)+f(2)=-4/3-2/3=-2根据奇函数f(x)=-f(-x)有f(-3)=-f(3)=2故f(x)在[-3,3]上的最大值为2最小值为-2