Question

周期函数的和的周期？

已知：
f(x)=f1(x)+f2(x)+...+fn(x)
f1(x)=f1(x+T1),
f2(x)=f2(x+T2),
...
fn(x)=fn(x+Tn).
问：f(x)是否为周期函数？若是，它的周期是多少？

Answer 1

首先，此函数未必为周期函数。
例如，f1=sinx，f2=sin(2pix)
那么，f1+f2=sinx+sin(2pix)
但是f1的周期为2pi，f2的周期为1，不存在这样的数，使得它既是2pi的整数倍，又是1的整数倍！

由刚才的最后一句话，我们知道其和仍为周期函数的条件是所有的要去相加的函数都存在有理数的周期（不论该有理数是否为最小正周期）或有理数乘以同一个无理数的周期。

其次，即使满足以上条件，也不一定能确定最小正周期。
例如，x是有理数时f1=1，x是无理数时f2=0；
x是有理数时f1=0，x是无理数时f2=1。
那么f1+f2=1，是常函数，没有最小正周期。

周期是容易确定的，所有周期的有理数部分（就是除了乘以的同一个无理数以外的部分）的最小整公倍数（能被所有的有理数部分整除，且为整数的最小的数）再乘以那个无理数就是。

Answer 2

当相加各函数的周期比值为有理数比时，相加得到函数可以为周期函数：
T1:T2:...:Tn=(p1/q1):(p2/q2):...:(pn/qn)
其中，p1,p2,...,pn,q1,q2,...,qn为非零整数
则，Ti=T1*(q1/p1)*(pi/qi) i=1,2,...,n
T=T1*q1*p2*p3*...*pn 一定是Ti的整数倍
所以 T为最后函数的周期
若相加各函数的周期比值为无理数比，则上述过程不成立，所以，不存在公共周期

Answer 3

不一定
例如
f(x)=h(x)+g(x)
g(x)周期是π
h(x)周期是1

Answer 4

周期函数的定义是:f(x+T)=f(x)
我觉得 f(x+T1*T2*T3*....Tn)=f(x)
如果T1*T2*T3*....Tn是有限的,那么是周期函数
周期是多少为定 T1*T2*T3*....Tn 可能是周期T的倍数

所以是不确定的

Answer 5

我晕了,除一楼都瞎说啊
举个例子先
f1(x)=sin x
x有理时，f2(x)=1
x无理时，f2(x)=0
这样
f1(x+2pi)=f1(x)
f2(x+1)=f2(x)
f(x)=f1(x)+f2(x)
f(0)=1,f(2pi)=0~~
这函数没周期的...
顶一楼！不一定！
T应该是T1,T2,...Tn的整数倍！