Question

已知函数f<x>=-x^2+mx-1

m为实数
1>试求f<x>在区间[1/2,1]上的最大值
2>若|f<x>|在区间（1/2,正无穷）上递增，求m的取值范围

Answer 1

f<x>=-x^2+mx-1
=-（x-m/2)^2+m^2/4-1
当m/2<1/2,即m<1时，
f(x)在[1/2,1]上递减，
f(x)max=f(1/2)=m/2-5/4

当1≤m/2≤1],即1≤m≤2时，
f(x)max=f(m/2)=m^2/4-1

当m/2>1即m>2时，
f(x)在[1/2,1]上递增
f(x)max=f(1)=m-2
(2)
f(x)=-（x-m/2)^2+m^2/4-1
对称轴为x=m/2,开口朝下
当m^2/4-1≤0即-2≤m≤2时，
|f(x)|=(x-m/2)^2+1-m^2/4
|f(x)|的递增区间为[m/2,+∞)
∴m/2≤1/2,∴m≤1
∴-2≤m≤1

当 m^2/4-1>0即m<-2或m>2时，
f(x)有2个零点x1,x2
设x1<m/2<x2
将f(x)图像在x轴下方部分沿x轴翻折得到|f(x)|图像
那么|f(x)|的一个递增区间为[x2,+∞)

若|f<x>|在区间（1/2,正无穷）上递增

则需｛f(1/2)=m/2-5/4≤0
{m/2<1/2
{m<-2或m>2
∴m<-2
综上，m的取值范围是（-∞，1]