Question

已知函数f<x>的定义域为[0,1]

且同时满足以下三个条件
f<x>=1
对任意的x∈[0,1],都有f(x)≥0
当x≥0，y≥0，且x+y≤1时都有f(x+y)≥f<x>+f<y>
<1>求f<x>的最大值
<2>证明：当x∈[1/4,1]时，恒有2x≥f<x>

Answer 1

已知定义域为〔0，1〕的函数f（x）同时满足以下三个条件：
1、对任意的x∈〔0，1〕，总有f（x）≥0
2、f（1）=1
3、当x≥0 ,y≥0 ，且x+y≤1时都有f(x+y)≥f(x)+f(y).
(1).试求f（0）的值
(2).求f(x)的最大值
(3)证明当x属于[1/4,1]时，恒有2x≥f(x)

(1)
f(x+y)≥f(x)+f(y).
f(1)=f(1+0)≥f(0)+f(1)
∴f(0）≤0
又f(x)≥0恒成立
∴f(0)=0
(2)
取0≤m<n≤1,则0<n-m<1
那么
f(n)=f[(n-m)+m]≥f(n-m)+f(m)
∴f(n)-f(m)≥f(n-m)≥0
∴f(x)为[0,1]上的不减函数

∴f(x)最大值为f(1)=1
(3)

当x∈[1/2,1]时，2x∈[1,2]
而f(x)≤f(1)=1,所以2x≥f(x)成立

当x∈[1/4,1/2)时，2x∈[1/2,1)
f(x)max=f(1/2)
而f(1/2)+f(1/2)≤f(1)=1
∴f(1/2)≤1/2
∴2x≥f(x)成立

即当x属于[1/4,1]时，恒有2x≥f(x)

追问

而f(x)≤f(1)=1,所以2x≥f(x)成立

和f(x)max=f(1/2)
没懂

追答

①f(x)为[0,1]上的不减函数

②x∈[1/4,1/2)

∴ f(x)≤f(1/2)

追问

为什么要分开来讨论呀，讨论的依据是什么

追答

没那么深奥，
f(x)的最大值是1，
对y=2x 来说，x=1/2时，y=1
因此，必然从1/2断开讨论

追问

当x∈[1/4,1/2)时，2x∈[1/2,1)
f(x)max=f(1/2)
为什么f的最大值是当x=1/2的时候最大，不是不减函数吗

追答

①f(x)为[0,1]上的不减函数

②x∈[1/4,1/2)

∴ f(x)≤f(1/2)