Question

数学一元二次方程的解法

Answer 1

配方法
（直接开）
形如x=p或（nx+m）=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x²=p的形式，那么可得x=±p；(x²=p,x=±根号p）
如果方程能化成（nx+m）=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±p．（同上）
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个一元二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方
（配方法）
（1）将一元二次方程配成（x+m）=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax²+bx+c=0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
配方法的应用：1、用配方法解一元二次方程．
配方法的理论依据是公式a²±2ab+b²=（a±b）
配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．
关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方．
公式法
1）把 德尔塔=b²-4ac 叫做一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的判别式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b²-4ac的值（若b²-4ac<0，方程无实数根，b²-4ac>0 方程有两个不相等的实根，b²-4ac=0时方程有两个等根 ）；
③在b²-4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b²-4ac≥0．
求根公式：

利用一元二次方程根的判别式（△=b-4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac有如下关系：
①当△>0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△<0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
根与系数的关系：
利用一元二次方程根的判别式（△=b-4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac有如下关系：
①当△>0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△<0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
特殊解法
开平方法，因式分解法（包括十字相乘法，双十字相乘法，拆项和添减项法等）
因式分解法：
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
　　因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
　　因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
　　（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
　　①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．

Answer 2

数学一元二次方程的解法

答：一元二次方程有四种解法：
解法一：开平方法
解法二： 配方法
解法三： 求根公式法
解法四： 因式分解法（或十字相乘法）

上述四种解法的具体方法、相互联系、适用范围如下：

解法一：开平方法
适用范围：缺一次项的一元二次方程
如下列方程， 都可用开平方法求解：
（1）3x²-75=0 （2） 5y²-10=0
（3） （x-2)²-3=0

若把一元二次方程的常数项移到方程的右边，
再把左边配成一个完全平方式，使其成为缺一次项的一元二次方程，
就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解了，
这种解一元二次方程的方法叫 配方法。

解法二： 配方法
方法：先把方程的常数项移到方程的右边，再把左边配成一个完全平方式，如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解.
配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．

问题：设a≠0，a,b,c 都是已知数，并且
b²-4ac≥0，试用配方法解方程：
ax²+bx+c = 0.
由问题的解答（略）可得

解法三：
求根公式法
一元二次方程ax²+bx+c=0( a≠0)的
求根公式 ：
x=[-b±√（b²-4ac)]/2a （b²-4ac≥0）
一般步骤：
（1）先把方程化为一般形式
（2）确定a,b,c
（3）判定△=b²-4ac的值
（4）代入求根公式

解法四：
因式分解法（或十字相乘法）
特点与条件：在一元二次方程的一边是0， 而另一边易于分解成两个一次因式时，就可以用因式分解法来解。

例如：解方程：x²=3x
解：移项，得x²-3x=0
将方程左边分解因式，得x(x-3)=0
∴x=0 或x-3=0
∴原方程的解为：x1=0 ， x2=-3
（这种解一元二次方程的方法叫因式分解法。）

又如下列方程，都可用因式分解法（或十字相乘法）来解：
（1） x²-3x-10=0
（2） （x+3）·（x-1）=5

Answer 3

其实还有十字相乘法,和因式分解法差不多,也是针对一些特殊的方程,初中一般很少用甚至不用,高中的话可以帮你减少很多时间,不过就是有点难凑,做多了会很快看出来的,如方程:2x^2-3x-2=0,则二次项系数2可以看成2x1,常数项-2可以看成1x(-2),十字相乘,相加正好等于一次项系数-3(这些步骤在草稿纸上做就行),所以原方程就是(2x加1)(x-2)=0,所以x1=-1/2,x2=2

Answer 4

数学一元二次方程的解法主要是配方法