Question

已知函数F(x)=x＾2+1(x≥0), =1(x＜0), 则满足不等式f(1-x＾2)＞f(2x)的x的取值范围为?

Answer 1

F(x)=｛x＾2+1(x≥0),
｛1(x＜0),
F(x)是分段函数，在[0,+∞)上递增
在(-∞,0）上为常函数，值为1，且F(0)=1

是需用分成两类讨论：
不等式f(1-x＾2)＞f(2x)成立的情况有

(1）1-x²和2x都在增区间[0,+∞)内，则
{1-x²≥0, ①
{ 2x≥0 ②
{1-x²>2x ③
①==>x²-1≤0 ==> -1≤x≤1
②==> x≥0
③==> x²+2x-1<0 ==>-1-√2<x<-1+√2
①②③取交集：0≤x<√2-1

（2）1-x²在区间（0,+∞)内，2x在（-∞，0）内
此时，f(1-x²)=x²+1>1,f(2x)=1，不等式成立
∴｛1-x²>0，且2x<0 解得 x<-1

【1-x²,和2x不能同处于(-∞,0),此时二者的函数值均为1】

综上所述，满足不等式的x的取值范围为
（-∞，-1）U[0,√2-1)