Question

分母为二次方的反比例函数值域怎么求，求详解

比如说f(x)=2/(x^2+9) 这个式子的值域怎么求，求老师详解和推导过程什么的，还有分子分母上都是二次x的那种怎么做，我觉得我值域学的好差啊……

Answer 1

这是属于复合函数的值域问题：看做反比例函数y=2/x复合二次函数y=x^2+9，解决步骤如下：
第一步：求出二次函数y=x^2+9的定义域，因为二次函数作为分母不能等于0，而这个二次函数本身就大于等于9，因此x∈R
第二步：求出二次函数y=x^2+9的值域，应该是[9,﹢∞）
第三步：将二次函数的值域作为反比例函数的定义域，也就是y=2/x中的x∈[9,﹢∞），所以根据反比例函数的递减性，可以得到值域是(0，2/9]

Answer 2

可以确定的是，随着分母的增大，函数f(x)的值减小。
分母x²+9≥9(x∈R)恒成立，所以当且仅当分母为9时，f(x)取最大值2/9.
所以f(x)∈(-∞,2/9].
像这样的函数求值域的问题，先确定定义域x的范围，再根据定义域x的范围确定分母的单调区间，求出分母的值域，从而确定整个函数的值域。不知道你导数学了没有，如果导数学了的话，确定函数的单调区间和值域会比原始的方法快的多。这个关键要多做一些题目，自然就会理解。