Question

请教一道有关三角函数的数学题.

已知acosA+bsinA=c，acosB+bsinB=c（ab≠0，A-B≠kπ，k∈Z）则cos(A-B)=？
要过程，谢谢。

Answer 1

acosA+bsinA=acosB+bsinB,
a(cosA-cosB)=b(sinB-sinA),
利用和差化积公式可得：
-2asin[(A+B)/2]sin[(A-B)/2]=2bsin[(B+A)/2]cos[(B-A)/2]
-asin[(A-B)/2]=bcos[(A-B)/2]
tan[(A-B)/2]=-b/a,
即sin[(A-B)/2]/cos[(A-B)/2] =-b/a,
又因sin²[(A-B)/2]+cos²[(A-B)/2] =1，
所以b²/a²* cos²[(A-B)/2] +cos²[(A-B)/2] =1，
∴cos²[(A-B)/2]= a^2/(a^2+b^2).

cos(A-B)=2cos^2[(A-B)/2]-1=2a^2/(a^2+b^2)-1=(a^2-b^2)/(a^2+b^2)