Question

已知抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）的顶点是C（0,1），直线l：y=﹣ax+3与这条抛物线交于P，Q两点

与x轴，y轴分别交于点M和N。 （1）设点P到x轴的距离为2，试求直线l的函数表达式； （2）若线段MP与PN的长度之比为3:1，试求抛物线的函数表达式。

Answer 1

解：由抛物线的顶点为（0，1），
得：b=0，c=1，
即y=ax2+1；
由于抛物线经过P点，
则有：2=ax2+1，
即x2= 1/a ；
同理可得到：-ax+3=2，x= 1 /a ；
故 1 a =（ 1 /a ）2，解得a=1；
所以抛物线的解析式为：y=x2+1，直线l的解析式为：y=-x+3．

Answer 2

y = ax^2+bx+c = a(x+b/(2a))^2+(c-b^2/(4a))
顶点 C(0,1) 则 -b/(2a) = 0, (c-b^2/(4a)) ，得 b=0, c=1，知抛物线为 y = ax^2+1
直线 y = -ax + 3 与坐标轴交点 M(3/a, 0), N(0, 3) 。
由 MP:PN=3:1 ，知 P(3/(4a),9/4)。
代入抛物线方程，得 a = 9/20 。

总结抛物线方程为 y=9x^2/20+1 。

另若 MP、PN 为无向线段，则有另一个可能的 P(-3/2a,9/2) 。此时 a = 9/14 。方程为 y=9x^2/14+1 。