Question

用反证法证明极限唯一性

假设{xn}有两个极限A，B,则对给定的ε=1/4绝对值里的a-b>0，存在c1>0,使当0<绝对值里的x-x0<c1时，恒有绝对值里的f(x)-a<ε同时存在c2>0,使当0<绝对值里的x-x0<c2时,恒有绝对值里的f(x)-B<ε于是令N=min{c1，c2}>0，则当0<绝对值里的x-x0<c时，恒有绝对值里的A-B=绝对值里的Af(x)+f(x)-B等于绝对值里的f(x)-a+绝对值里的f(x)-b小于2ε=1/2绝对值
看不懂 求解释

Answer 1

解：
设{xn}极限为A，回忆一下极限定义，任取ε>0，存在N>0，当n>N时，有 |xn-A|<ε
证明极限唯一性，假设{xn}有两个极限A，B，且A>B
取ε=(A-B)/2，
存在N1，当n>N1时，有 |xn-A|<(A-B)/2 (1)
存在N2，当n>N2时，有 |xn-B|<(A-B)/2 (2)
取N=max{N1，N2}，则当n>N时，上面两式同时成立
(1)可化为：(B-A)/2<xn-A<(A-B)/2，可得 (B+A)/2<xn<(A-B)/2+A
(2)可化为：(B-A)/2<xn-B<(A-B)/2，可得 (B-A)/2+B<xn<(A+B)/2
出现矛盾，一个式子是xn>(A+B)/2，另一个是xn<(A+B)/2
因此极限唯一。

Answer 2

若极限不唯一，设他们差的绝对值为A
则存在正实数e<=A
使函数与其中一个极限的差值始终大于e
矛盾
证毕