Question

大学微积分

无穷小的性质 无穷小与有界变量的积仍为无穷小 证明看不懂帮忙解释下

Answer 1

1、无穷小的概念：
无穷小不是一个很小的数的概念，而是一个过程的概念；
是指一个变量越来越小，无止境地、无限地、无穷地、没完没了地小下去的过程；
趋向于0的过程是不可以中止的，小下去的过程中，要多小有多小，永远没有最小；
它是趋向于0，不是等于0；如果是等于0，就没有必要计算，直接代入计算就行了；
出现无穷小的情况，通常发生在比值计算上，也就是分母可能为，但是比值不为0；
无穷小可以是从负的方向趋向于0，也可以从正的方向趋向于0；
也可以一会儿正，一会儿负，但是绝对值却是一直小下去，越来越趋近于0。

2、有界的概念：
有界是指，有一个限度，或是一个幅度，或是一范围，函数值超不出这个范围；
例如正弦函数、余弦函数，超不出正负1的范围，它们就是有界函数；
譬如任何椭圆、圆、众多的轨迹方程，它们都有界，函数的范围都有一个限制；
自变量的范围是定义域，是domain，函数的范围是值域，是range。

3、有界函数乘以无穷小的情况：
因为是两个函数的乘积，譬如AB，A有限制，不得大于多少，也不得小于多少，
而B却可以越来越小，越来越趋向于0，因为A的值是有限的大，而B却可以无限
地小下去，乘积的结果也就不可避免地无止境地小下去；
这个小下去的过程中，可能会有起伏，但是整体趋势是无止境地小下去，趋于0；
在一个个小区间内，会有上升的情况，若楼主动阻尼运动，就是一个最好的例子；
所以，我们说，有界函数乘以无穷小，结果仍为无穷小。

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