Question

设函数y=f(x),x∈R,f(x)≠0,对任意实数的x,y均有f(x+y)=f(x)·f(y)成立。（1）求证：f(-1)=1/f(1)

设函数y=f(x),x∈R,f(x)≠0,对任意实数的x,y均有f(x+y)=f(x)·f(y)成立。
（1）求证：f(-1)=1/f(1)
（2）求证：f(x)＞0对任意x都成立。

Answer 1

(1)函数y=f(x),x∈R,f(x)≠0,对任意实数的x,y均有f(x+y)=f(x)·f(y)成立
令x=y=0,f(0)=f(0)f(0)=f(0)^2
解得f(0)=0或1
因为f(x)≠0，所以f(0)=0
令x=-1,y=1,f(0)=f(-1)f(1)=1
所以f(-1)=1/f(1)

(2)令x=y=t/2,t∈R
所以f(t)=f(t/2)^2
因为f(t/2)≠0
所以f(t/2)^2>0
所以f(t)>0
将t换成x，即f(x)>0,x∈R

希望能够帮助你，有疑问欢迎追问，祝学习进步！

Answer 2

（1）f（0+1）=f(0)f（1），f(0)=1,f(-1)f（1）=f(0)=1

（2）f(x)为指数函数。