Question

如图，四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M为PC的中点．

如图，四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M为PC的中点．
平面PAD内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD？若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理由。

拜托了！

Answer 1

取PD的中点K，连接MK、AK。

先明确ABMK为矩形
因AB⊥AD，CD⊥AD，则CD//AB
又MK//AB且MK=1/2CD（中位线）=AB（已知）
则ABMK为平行四边形
因PA⊥底面ABCD，AB属于底面，即有PA⊥AB
又AB⊥AD，PA交AD于平面PAD，则AB⊥平面PAD
而AK属于平面PAD，则AB⊥AK，所以平行四边形ABMK为矩形

再来看看平面ABMK与平面PBD的位置关系：
连接BK。在⊿PBD中，PB=BD（RT⊿PAB≌RT⊿DAB），K为PD中点，则BK⊥PD（三线合一）
在⊿PAD中，PA=AD，K为PD中点，则AK⊥PD（三线合一）
而AK交BK于平面ABMK，则PD⊥平面ABMK
注意到PD属于平面PBD，所以平面PBD⊥平面ABMK

然后确定MN：
因平面PBD⊥平面ABMK，且交线为BK
则在平面ABMK上，所有垂直于交线的直线都垂直于平面PBD
于是过M作BK的垂线交BK于L，交AK于N，则MN⊥平面PBD
因RT⊿MNK与RT⊿MBK相似，则确定NK=√2/2，即AN=√2/2
所以N在三角形PAD的边PD中线的中点

追问

我这里有一个疑问：
就是为什么NK=√2/2呢？怎么来的啊？