Question

一道初三数学几何题

如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．

注：复制无效，最好用纸写下来然后拍照。谢谢！！！

Answer 1

解：(1)∵△ABC是边长为6的等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∵∠BQD=30°，
∴∠QCP=90°，
设AP=x，则PC=6﹣x，QB=x，
∴QC=QB+C=6+x，
∵在Rt△QCP中，∠BQD=30°，
∴PC=½QC，即6﹣x=½(6+x)，解得x=2；
(2)当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．理由如下：
作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF，
又∵PE⊥AB于E，
∴∠DFQ=∠AEP=90°，
∵点P、Q做匀速运动且速度相同，
∴AP=BQ，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°，
∴在△APE和△BQF中，
∵∠A=∠FBQ∠AEP=∠BFQ=90°，
∴∠APE=∠BQF，
∴∠A=∠FBQ
AP=BQ
∠AEP=∠BFQ
∴△APE≌△BQF，
∴AE=BF，PE=QF且PE∥QF，
∴四边形PEQF是平行四边形，
∴DE=½EF，
∵EB+AE=BE+BF=AB，
∴DE=½AB，
又∵等边△ABC的边长为6，
∴DE=3，
∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．

分析： (1))由△ABC是边长为6的等边三角形，可知∠ACB=60°，再由∠BQD=30°可知∠QCP=90°，设AP=x，则PC=6﹣x，QB=x，在Rt△QCP中，∠BQD=30°，PC=½QC，即6﹣x=½(6+x)，求出x的值即可；
(2)作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF，由点P、Q做匀速运动且速度相同，可知AP=BQ，
再根据全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQF，再由AE=BF，PE=QF且PE∥QF，可知四边形PEQF是平行四边形，进而可得出EB+AE=BE+BF=AB，DE=½AB，由等边△ABC的边长为6可得出DE=3，故当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
点评： 本题考查的是等边三角形的性质及全等三角形的判定定理、平行四边形的判定与性质，根据题意作出辅助线构造出全等三角形是解答此题的关键．

追问

为什么AP=QB

Answer 2

标准答案！
A
设oa=2R,所以扇形Soab=πR^2,小半圆的S=πR^2/2，
所以说扇形的面积=2个小半圆的面积。
所以两个小半圆重合的面积Q=扇形里面半圆外的面积P.
所以选择A、
谢谢你的采纳！！

Answer 3

设AO=BO=2R，则S1=扇形的面积是R²π
∴以AO为直径的半圆面积为S2=0.5πR²，∴S3=0.5πR²（S3是除扇形AO外的那）
两个白的面积一样
∴P=Q

Answer 4

BF=（4/5）BO
过F作FH//AG
BO为角ABG的角平分线，FD∥BA，CF∥BG
BCFD为棱形，BD=CF=DH
BF=（4/5）BO，
即BF：FO=4：1
BH：HG=4：1
即BD=DH=2HG
故三角形DFH面积=平行四边形FHGP的面积
而三角形DFH面积=1/2平行四边形CBDF的面积
即平行四边形CBDF的面积=四边形FDGP的面积
所以当BF=（4/5）BO
时，四边形CBDF的面积是四边形CBGP的一半

Answer 5

证明：取BD中点K，连接EK，FK，EFK构成三角形。
在三角形ADB中，EK是中位线，
所以EK=1/2AB，
同理可得FK=1/2CD，
所以EK+FK=1/2(AB+CD)，
又在三角形EFK中，EK+FK＞EF(两边之和小于第三边)，
所以EF＜1/2(AB+CD)
谢谢采纳！