Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，BD平分∠CBA，DE⊥AB于E，求证：AD+DE=BE

Answer 1

由角平分线的定义、垂直的定义证明△DEB≌△DCB，再根据全等三角形的对应边相等得出结论．证明：∵BD平分∠CBA（已知），
∴∠EBD=∠CBD（角平分线的定义）．
∵DE⊥AB（已知），
∴∠DEB=90°（垂直的定义）．
∵∠C=90°（已知），
∴∠DEB=∠C（等量代换）．
在△DEB和△DCB中，
∴△DEB≌△DCB（AAS）．
∴DE=DC，BE=BC（全等三角形的对应边相等）．
∵AD+DC=AC=BC（已知），
∴AD+DE=BE（等量代换）．
点评：本题考查了角平分线的定义、垂直的定义、全等三角形的判定及其性质等知识．利用相等的线段进行等效转是解答本题的关键．

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Answer 2

由角平分线的定义、垂直的定义证明△DEB≌△DCB，再根据全等三角形的对应边相等得出结论．解答：证明：∵BD平分∠CBA（已知），
∴∠EBD=∠CBD（角平分线的定义）．
∵DE⊥AB（已知），
∴∠DEB=90°（垂直的定义）．
∵∠C=90°（已知），
∴∠DEB=∠C（等量代换）．
在△DEB和△DCB中
，
∴△DEB≌△DCB（AAS）．
∴DE=DC，BE=BC（全等三角形的对应边相等）．
∵AD+DC=AC=BC（已知），
∴AD+DE=BE（等量代换）．

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Answer 3

由角平分线的定义、垂直的定义证明△DEB≌△DCB，再根据全等三角形的对应边相等得出结论．解答：证明：∵BD平分∠CBA（已知），
∴∠EBD=∠CBD（角平分线的定义）．
∵DE⊥AB（已知），
∴∠DEB=90°（垂直的定义）．
∵∠C=90°（已知），
∴∠DEB=∠C（等量代换）．
在△DEB和△DCB中
，
∴△DEB≌△DCB（AAS）．
∴DE=DC，BE=BC（全等三角形的对应边相等）．
∵AD+DC=AC=BC（已知），
∴AD+DE=BE（等量代换）．点评：本题考查了角平分线的定义、垂直的定义、全等三角形的判定及其性质等知识．利用相等的线段进行等效转是解答本题的关键．