Question

已知圆C:x^2+y^2-2x+4y-4=0，是否存在斜率为1的直线l，使以l被圆C截得的弦AB为

已知圆C:x^2+y^2-2x+4y-4=0，是否存在斜率为1的直线l，使以l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点？请说明理由。

Answer 1

已知圆C：x^+y^-2x+4y-4=0,
是否存在斜率为1的直线L,使L被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点？

设L方程为：y=x+t，与圆C方程联立：
--->x^+(x+t)^-2x+4(x+t)-4=0--->2x^+(2t+2)x+(t^+4t-4)=0
--->xA+xB=-(t+1),
xAxB=(t^+4t-4)/2
--->yAyB=(xA+t)(xB+t)=xAxB+t(xA+xB)+t^

AB是直径--->OA⊥OB--->k(OA)k(OB)=(yA/xA)(yB/xB)=-1--->yAyB+xAxB=0
--->2xAxB+t(xA+xB)+t^=0
--->(t^+4t-4)-t(t+1)+t^=t^+3t-4=(t-1)(t+4)=0--->t=1或t=-4

即：存在这样的直线L:y=x+1或y=x-4