Question

回答下面数学问题。

巧分正方形
希波克拉底的一位病人得知他善几何，便拿来一题讨教。如何用最简便的方法把一个正方形分成面积比分别为3：4：5的三块，且不能用直尺圆规等工具？同时要求所求面积比是精确的。
对于一贯用尺规作图的希波克拉底来说，这道题无疑是一个挑战！但他仍然很快将问题解决。他采用的方法是：折纸。其步骤如下：

几次折叠将正方形折出三条折痕，从而亦将正方形分着面积比为3：4：5的三部分1、2、3。
你能证明这种做法是正确的吗？
求详细解答！

Answer 1

解答：根据图3可知，1：2+3=3：4+5=1：3；

其次假设正方形的边长为a，如下图：

正方形的面积为S=a^2；

因：三角形OFG相似于三角形AGB，且有AB=2OF，则S（AGB）=4*S（OGF）；

又因：三角形BGF相似于三角形DGA，且有AD=2BF，则S（AGD）=4*S（BGF）；

而：三角形S（ADB）=0.5a^2，三角形S（BAF）=0.25a^2；

三角形ABF=AGB+BGF=4*GOF+BGF=0.25a^2；

三角形ADB=AGB+AGD=4*GOF+4*BGF=0.50a^2；

则有：三角形S（ADG）=4*0.25/3a^2，多边形S（DCFG）=1.25/3a^2；

则：图形1：图形2：图形3=0.25:1/3:1.25/3=0.75:1:1.25=3:4:5。作答完毕，谢谢。

Answer 2

假设边长是1：

三角形1：

很明显是二分之一的二分之一是四分之一

三角形2：

他的横向高线，是整个边长的三分之二（相似三角形，可以看出来吧），于是面积是二分之一的三分之二，是三分之一

剩下的就是三角形3了，1减去四分之一再减去三分之一，是十二分之五

Answer 3

假设正方形边长是2，所以它的面积是4，图六1区域的面积就是1，然后利用相似三角形的面积比是边长的平方，把2这个三角形的那条边延长得到两个相似三角形，可以建立一个方程，设2这个三角形是x,1的小部分那块是y,得x=4y,然后X+（1除去y的那一部分）=2，y+(1除去y的那一部分)=1,联立得x-y=1,所以y=1/3，x=4/3，之后3的面积也出来了

Answer 4

Answer 5

设正方形面积为1，
3+4+5=12，
3/12=1/4，为图中标1的部分面积。
第二条折线把第三条折线分成2:1，
∴图中标2的部分面积=（1/2）*（2/3）=1/3，
于是图中标3的部分面积=1-1/4-1/3=5/12.

追问

”第二条折线把第三条折线分成2:1“，这句我不明白，可以解释一下吗？为什么？

追答

看图4，左右两个相似三角形的对应边之比=2:1，
所以第二条折线把第三条折线分成2:1.
可以吗？