Question

用3个三角形最多可以把平面分成几部分？10个三角形呢？

Answer 1

设n个三角形最多将平面分成an个部分。
n=1时，a1=2；
n=2时，第二个三角形的每一条边与第一个三角形最多有2个交点，三条边与第一个三角形最多有2×3=6（个）交点。这6个交点将第二个三角形的周边分成了6段，这6段中的每一段都将原来的每一个部分分成2个部分，从而平面也增加了6个部分，即a2＝2＋2×3。
n＝3时，第三个三角形与前面两个三角形最多有4×3＝12（个）交点，从而平面也增加了12个部分，即： a3=2＋2×3＋4×3。
……
一般地，第n个三角形与前面（n-1）个三角形最多有2（n-1）×3个交点，从而平面也增加2（n－1）×3个部分，故
an=2＋2×3＋4×3＋…＋2（n-1）×3
＝2＋〔2＋4＋…＋2（n-1）〕×3
＝2＋3n（n-1）＝3n^2-3n＋2。

特别地，当n＝10时，a10＝3×100-3×10＋2=272，即10个三角形最多把平面分成272个部分。

追问

有没有简便一些的方法？谢谢！

没有就算了，很感谢您！