Question

已知函数f(x)=loga(x^3-ax)(a>0且a≠1),如果函数f(x)在区间(-1/2,0)内单调递增,那

我知道要分两种（1）0＜a＜1，内函数y=x^3-ax的导数小于等于0恒成立，最小值带入≥0（2）a大于1.。。。。。谁能帮我求下结果，我貌似算的不对

Answer 1

已知函数f(x)=log‹a›(x³-ax)(a>0且a≠1),如果函数f(x)在区间(-1/2,0)内单调递增，求a
的取值范围。
解：讨论之前，先要确定f(x)=log‹a›(x³-ax)的定义域：
由x³-ax=x(x²-a)=x(x+√a)(x-√a)>0，得定义域为-√a<x<0或x>√a；(a>0，且a≠1).
设f(x)=log‹a›u，u(x)=x³-ax；要使f(x)=log‹a›(x³-ax)在区间(-1/2,0)内单调递增，就
必须使log‹a›u与x³-ax在此区间内有相同的增减性。log‹a›u的增减性比较简单：a>1
时单调增；0<a<1时单调减。故必需先研究u(x)=x³-ax的增减性。
u'(x)=3x²-a=3(x²-a/3)=3[x+√(a/3)][x-√(a/3)]；
当x≦-√(a/3)或x≧√(a/3)时u'≧0，即u(x)在区间(-√a，-√(a/3)]或（√a，+∞）内单调
增；当-√(a/3)≦x≦√(a/3)时u'(x)≦0，故在区间[-√(a/3)，0）内u(x)单调减。
（注意定义域，所有讨论都要在函数的定义域内进行).
故当0<a<1时应取-√(a/3)≦-1/2，即a/3≧1/4，a≧3/4；故3/4≦a<1为解。
当a>1时应取√a≦-1/2，这样的a>0不存在；或-√a≦-1/2，且-√(a/3)>0，显然这样
的a>0也不存在。
由上面的讨论，可得满足题意的a的取值范围为3/4≦a<1。

追问

我知道我哪里算错了，求导的时候算成了2x^2-a!!!!!应该是3a^2-a 非常感谢您的回答！其实不要配凑，比如0＜a＜1时，只要内函数的导函数≤0恒成立，即a≥3x^2的最大值=3/4,然后（x^3-ax)最小值≥0就可以了