Question

利用单调有界收敛定理证明确界存在定理

Answer 1

<br>　　 中值定理是微积分学中的基本定理，由四部分组成。 [编辑本段]拉格朗日微分中值定理　　内容是说一段连续光滑曲线中必然有一点，它的斜率与整段曲线平均斜率相同（严格的数学表达参见下文）。中值定理又称为微分学基本定理，拉格朗日定理，拉格朗日中值定理，以及有限改变量定理[1]等。<br>　　内容<br>　　如果函数f(x)满足 <br>　　在闭区间[a,b]上连续； <br>　　在开区间(a,b)内可导， <br>　　那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使等式 <br>　　f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a) <br>　　成立。 [编辑本段]罗尔定理　　内容<br>　　如果函数f(x)满足 <br>　　在闭区间[a,b]上连续； <br>　　在开区间(a,b)内可导； <br>　　在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)， <br>　　那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使得<math>f^\prime(\xi)=0</math>。 <br>　　补充<br>　　如果函数f(x)满足： <br>　　在闭区间[a,b]上连续； <br>　　在开区间(a,b)内可导； <br>　　在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)， <br>　　那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使得 f'(ξ)=0. <br>　　几何上，罗尔定理的条件表示，曲线弧 （方程为 ）是一条连续的曲线弧 <br>　　，除端点外处处有不垂直于 轴的切线，且两端点的纵坐标相等。而定理结论表明， <br>　　弧上至少有一点 ，曲线在该点切线是水平的.： [编辑本段]柯西中值定理　　如果函数f(x)及F(x)满足<br>　　(1)在闭区间[a,b]上连续；<br>　　(2)在开区间(a,b)内可导；<br>　　(3)对任一x(a,b)，F'(x)!=0<br>　　那么在(a,b) 内至少有一点ξ，使等式<br>　　[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ξ)/F'(ξ)<br>　　成立 [编辑本段]积分中值定理　　f(x)在a到b上的积分等于(a-b)*f'(c),其中c满足a<c<b.<br>　　积分中值定理: 若f(x) 在[a, b]上连续, 则在（a, b）上至少存在一个点ε, 满足<br>　　b<br>　　∫f(x)dx=f(ε)(b-a)<br>　　a <br>　　例1 证明 <br>　　证明: <br>　　评注: 按原来的中值定理, 只能得到“&sup3; 0”; 按改进后的中值定理, 因为 , 所以得到“> 0”.<br>　　例2 假设 上连续且严格单减, 试证对任何 有<br>　　证明: <br>　　= <br>　　因为 , 所以才得到“> 0”的不等式.<br>　　例3 假设 为[0, 1]上的连续、非负、严格单减函数, 且 , 证明<br>　　证明: <br>　　(由于使用改进后的中值定理, 所以才得到上面严格不等号的不等式)<br>　　由以上二个不等式, 可以得到<br>　　二边乘以 , 得<br>　　因为 , 由于 为[0, 1]上的连续、非负, <br>　　所以 <br>　　.<br>　　顺便指出, 陈文灯先生的“数学复习指南”中, 关于单调性的定理也需要改进.<br>　　原书中的关于单调性的定理:<br>　　定理 假设[a, b]区间内可导, 如果f'(x)>0（f'(x)<0） , 则函数f(x)在[a, b] 区间内单调增加(或单调减少).<br>　　应改成:<br>　　定理 假设在[a, b]上的连续函数在[a, b]区间内可导, 如果f'(x)>=0（f'(x)<=0）, 则函数f(x)在[a, b] 区间内单调增加(或单调减少).(同济版“高等数学”第五版上册p144)<br><br>　　 中值定理是微积分学中的基本定理，由四部分组成。 [编辑本段]拉格朗日微分中值定理　　内容是说一段连续光滑曲线中必然有一点，它的斜率与整段曲线平均斜率相同（严格的数学表达参见下文）。中值定理又称为微分学基本定理，拉格朗日定理，拉格朗日中值定理，以及有限改变量定理[1]等。<br>　　内容<br>　　如果函数f(x)满足 <br>　　在闭区间[a,b]上连续； <br>　　在开区间(a,b)内可导， <br>　　那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使等式 <br>　　f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a) <br>　　成立。 [编辑本段]罗尔定理　　内容<br>　　如果函数f(x)满足 <br>　　在闭区间[a,b]上连续； <br>　　在开区间(a,b)内可导； <br>　　在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)， <br>　　那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使得<math>f^\prime(\xi)=0</math>。 <br>　　补充<br>　　如果函数f(x)满足： <br>　　在闭区间[a,b]上连续； <br>　　在开区间(a,b)内可导； <br>　　在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)， <br>　　那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使得 f'(ξ)=0. <br>　　几何上，罗尔定理的条件表示，曲线弧 （方程为 ）是一条连续的曲线弧 <br>　　，除端点外处处有不垂直于 轴的切线，且两端点的纵坐标相等。而定理结论表明， <br>　　弧上至少有一点 ，曲线在该点切线是水平的.： [编辑本段]柯西中值定理　　如果函数f(x)及F(x)满足<br>　　(1)在闭区间[a,b]上连续；<br>　　(2)在开区间(a,b)内可导；<br>　　(3)对任一x(a,b)，F'(x)!=0<br>　　那么在(a,b) 内至少有一点ξ，使等式<br>　　[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ξ)/F'(ξ)<br>　　成立 [编辑本段]积分中值定理　　f(x)在a到b上的积分等于(a-b)*f'(c),其中c满足a<c<b.<br>　　积分中值定理: 若f(x) 在[a, b]上连续, 则在（a, b）上至少存在一个点ε, 满足<br>　　b<br>　　∫f(x)dx=f(ε)(b-a)<br>　　a <br>　　例1 证明 <br>　　证明: <br>　　评注: 按原来的中值定理, 只能得到“&sup3; 0”; 按改进后的中值定理, 因为 , 所以得到“> 0”.<br>　　例2 假设 上连续且严格单减, 试证对任何 有<br>　　证明: <br>　　= <br>　　因为 , 所以才得到“> 0”的不等式.<br>　　例3 假设 为[0, 1]上的连续、非负、严格单减函数, 且 , 证明<br>　　证明: <br>　　(由于使用改进后的中值定理, 所以才得到上面严格不等号的不等式)<br>　　由以上二个不等式, 可以得到<br>　　二边乘以 , 得<br>　　因为 , 由于 为[0, 1]上的连续、非负, <br>　　所以 <br>　　.<br>　　顺便指出, 陈文灯先生的“数学复习指南”中, 关于单调性的定理也需要改进.<br>　　原书中的关于单调性的定理:<br>　　定理 假设[a, b]区间内可导, 如果f'(x)>0（f'(x)<0） , 则函数f(x)在[a, b] 区间内单调增加(或单调减少).<br>　　应改成:<br>　　定理 假设在[a, b]上的连续函数在[a, b]区间内可导, 如果f'(x)>=0（f'(x)<=0）, 则函数f(x)在[a, b] 区间内单调增加(或单调减少).(同济版“高等数学”第五版上册p144)<br><br>　　 中值定理是微积分学中的基本定理，由四部分组成。 [编辑本段]拉格朗日微分中值定理　　内容是说一段连续光滑曲线中必然有一点，它的斜率与整段曲线平均斜率相同（严格的数学表达参见下文）。中值定理又称为微分学基本定理，拉格朗日定理，拉格朗日中值定理，以及有限改变量定理[1]等。<br>　　内容<br>　　如果函数f(x)满足 <br>　　在闭区间[a,b]上连续； <br>　　在开区间(a,b)内可导， <br>　　那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使等式 <br>　　f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a) <br>　　成立。 [编辑本段]罗尔定理　　内容<br>　　如果函数f(x)满足 <br>　　在闭区间[a,b]上连续； <br>　　在开区间(a,b)内可导； <br>　　在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)， <br>　　那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使得<math>f^\prime(\xi)=0</math>。 <br>　　补充<br>　　如果函数f(x)满足： <br>　　在闭区间[a,b]上连续； <br>　　在开区间(a,b)内可导； <br>　　在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)， <br>　　那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使得 f'(ξ)=0. <br>　　几何上，罗尔定理的条件表示，曲线弧 （方程为 ）是一条连续的曲线弧 <br>　　，除端点外处处有不垂直于 轴的切线，且两端点的纵坐标相等。而定理结论表明， <br>　　弧上至少有一点 ，曲线在该点切线是水平的.： [编辑本段]柯西中值定理　　如果函数f(x)及F(x)满足<br>　　(1)在闭区间[a,b]上连续；<br>　　(2)在开区间(a,b)内可导；<br>　　(3)对任一x(a,b)，F'(x)!=0<br>　　那么在(a,b) 内至少有一点ξ，使等式<br>　　[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ξ)/F'(ξ)<br>　　成立 [编辑本段]积分中值定理　　f(x)在a到b上的积分等于(a-b)*f'(c),其中c满足a<c<b.<br>　　积分中值定理: 若f(x) 在[a, b]上连续, 则在（a, b）上至少存在一个点ε, 满足<br>　　b<br>　　∫f(x)dx=f(ε)(b-a)<br>　　a <br>　　例1 证明 <br>　　证明: <br>　　评注: 按原来的中值定理, 只能得到“&sup3; 0”; 按改进后的中值定理, 因为 , 所以得到“> 0”.<br>　　例2 假设 上连续且严格单减, 试证对任何 有<br>　　证明: <br>　　= <br>　　因为 , 所以才得到“> 0”的不等式.<br>　　例3 假设 为[0, 1]上的连续、非负、严格单减函数, 且 , 证明<br>　　证明: <br>　　(由于使用改进后的中值定理, 所以才得到上面严格不等号的不等式)<br>　　由以上二个不等式, 可以得到<br>　　二边乘以 , 得<br>　　因为 , 由于 为[0, 1]上的连续、非负, <br>　　所以 <br>　　.<br>　　顺便指出, 陈文灯先生的“数学复习指南”中, 关于单调性的定理也需要改进.<br>　　原书中的关于单调性的定理:<br>　　定理 假设[a, b]区间内可导, 如果f'(x)>0（f'(x)<0） , 则函数f(x)在[a, b] 区间内单调增加(或单调减少).<br>　　应改成:<br>　　定理 假设在[a, b]上的连续函数在[a, b]区间内可导, 如果f'(x)>=0（f'(x)<=0）, 则函数f(x)在[a, b] 区间内单调增加(或单调减少).