Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠B=90°，AD=1，AB=5，BC=4，点P是线段AB上一个动点，点E是CD的中

点，延长PE至F，使EF=PE．
（1）判定四边形PCFD的形状；
（2）当AP的长为何值时，四边形PCFD是矩形；
（3）求四边形PCFD的周长的最小值．

Answer 1

解：（1）∵点E是CD的中点，即EC=DE，
又∵EF=PE，
∴四边形PCFD为平行四边形；

（2）设AP=x，
∵在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠B=90°，
∴△APD∽△BCP．
∴x：4=1：（5-x）．解得x1=1，x2=4；
答；当AP的长为1或4时，四边形PCFD是矩形；

（3）延长DA到G，使AG=AD、当点G、P、C共线时CP+PD最小，最小值为GC
GC=PD+PC，
∵∠A=∠B=90°，AD=1，AB=5，BC=4，
∴PD= 2 ，PC=4 √2 ，
∴GC=5 √2 ．
∴四边形PCFD的周长的最小值为10√ 2 ．

Answer 2

1、 平行四边形，因为对角线相互平分
2、 1或4，设AP=x，列式AD/AP=BP/BC,即1/x=(5-x)/4,解得x=1或4
3、同第二题设AP=x,周长y=(PD+PC)x2,，就把问题转化为，求PD+PC的最小值，
只要把DA延长至G，使AG=AD，再连接CG，此时的CG就是PD+PC的最小值，数值是5根号2，
所以周长最小值是10根号2