Question

已知函数f(x)是定义在(0,+∞),且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(1/2)=1,如果对于0<x<y,都

都有f（X）＞f（y）
解不等式f（ -x）+f（3-x）≥-2

Answer 1

题目已经给出f是个严格单调减函数了。
令x = y = 1，可以知道f(1) = 0
令y = 1/x，可以知道f(x) + f(1/x) = 0
所以f(2) = -f(1/2) = -1

所以f(4) = f(2) + f(2) = -2
f(-x)+f(3-x) = f(-3x + x^2)，要让它大于等于-2，根据单调性，则
0 < -3x + x^2 ≤ 4
此外，-x > 0， 3-x > 0
最后解不等式就行了。

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另外一种证明方法，甚至可以把f表达式写出来

不妨令xy = x + Δx，Δx > 0，则有
f(x+ Δx) - f(x) = f(1 + Δx/x) 【式1】

两边同时除以Δx，有
[f(x+ Δx) - f(x)] / Δx = f(1 + Δx/x) / Δx
对于给定的x，现在假定Δx是一个无穷小量，则右式又可以写成
【此处需要补充f连续可微的证明，否则不严谨，后边做说明】
f(1 + Δx/x) / Δx = f(1)/Δx + f'(1 + Δx/x) / x = f'(1 + Δx/x) / x
代回刚才的表达式，有
[f(x+ Δx) - f(x)] / Δx = f'(1 + Δx/x) / x
对Δx取极限，有
f'(x) = f'(1)/x = C/x
因而f(x) = Clnx
由于f(1/2) = 1，故而C = -1/ln2
所以f(x) = -(1/ln2)lnx
【f的连续性可以从1式中证出，可微性待证】
【只要证出f在x = 1附近一个微小的临域内可微，即可证得f可微，但是目前想不出来怎么证】

Answer 2

x y取1/2得F（1/4）=2 XY取1的F（1）=0 则原式可转化为f(-x)+f(3-x)+f(1/4)>=f(1) 即f(-x(3-x)/4)>=f(1) 又对于0〈x<y f(x)>f(y)即在x>0上f（x）递减 所以-x(3-x)/4<=1得-1<=x<=4 还有-x>0 3-x>0 so -1<x<0

Answer 3

-1≤X≤4