Question

求解几道关于高一奇偶性的数学题

一.已知f(x)=3ax³+4bx+3a+b是奇函数，且定义域为[2a-6,a]，则a=?,b=?
二.f(x)=x²+2x+3(x＜0)且-x²+2x-3(x＞0)，求该函数的奇偶性。
三.函数f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)+g(x)=3/(x+3)，求f(x)，g(x)
四.已知函数f(x)=ax²+bx+c ①若函数为奇函数，求实数a,b,c满足的条件；②若函数为偶函数，求实数a,b,c满足的条件
要答案和过程，谢谢。

Answer 1

一奇函数定义域关于原点对称，∴（2a-6）+a=0 ，a=2
由上面可知，定义域包含0，而奇函数关于原点对称，因此f(x)过原点，f(0)=3a+b=0
b=-6

二首先函数定义域对称，
令a＜0,则-a＞0
f(a)=a²+2a+3
f(﹣a)=－(﹣a)²+2(﹣a)-3=﹣a²-2a-3
∵ f(a)+ f(﹣a)=0
∴f(x)是奇函数

三根据题意，f(x)=f(-x) ,g(x)=﹣g(﹣x)
则有f(-x)-g(﹣x)=3/(x+3)
如果用﹣x代换条件等式中的x，则有f(﹣x)+g(﹣x)=3/(﹣x+3)
联立方程组，解得f(x)=f(-x)=﹣9/(x²-9)
g(﹣x)=9/(x²-9)
∴g(x)=﹣g(﹣x)=9/(9-x²)

四①f(x)+f(﹣x)=0,即ax²+c=0,∵x∈R,∴a=c=0
②f(x)=f(﹣x),即2bx=0，∵x∈R,∴b=0

鉴定完毕

追问

太赞了，你可以告诉我解这类题有什么技巧吗？应该从哪方面入手？

追答

首先考虑定义域，如果定义域关于原点不对称，那就是非奇非偶函数。
然后这种题一般从数形两方面分析。数：两个等式——奇函数的 f(a)+ f(﹣a)=0和偶函数的 f(a)= f(﹣a)入手。形：奇函数关于原点中心对称；偶函数关于y轴对称。
但有时候如果利用他们的特殊性质更方便：奇函数过原点，偶函数有f(x)=f(|x|)

大概主要是这些。
如果仍有疑问，欢迎询问！

Answer 2

1+5+2=4，望采纳