Question

如图，在三角形ABC中，已知角BAC等于90°，AB等于AC，D是BC上的一点，求证:BD²+CD

如图，在三角形ABC中，已知角BAC等于90°，AB等于AC，D是BC上的一点，求证:BD²+CD²=2AD²

Answer 1

证明：为了营造一条线垂直斜边BC（这里好利用等腰直角三角形中位线垂直于斜边并等于斜边的一半定理）故先作辅助线AF⊥BC于F点。
设BC长为2l，DF长为变量a，
由等腰直角三角形相关性质及AF为斜边上的高的原理
可得：AF=BF=CF=BC/2=l（等腰直角三角形中位线垂直于斜边并等于斜边的一半）
BD和CD 分别为l+a和l-a,
所以：BD²+CD²=(l+a)^2+(l-a)^2=2(l^2+a^2)
因为在Rt⊿AFD中，AD^2=AF^2+DF^2=l^2+a^2
所以得：BD²+CD²=2AD²(证毕）

Answer 2

作AE⊥BC于E，由于∠BAC=90°，AB=AC，所以BE=CE，要证明BD²+CD²=2AD2，只需找出BD、CD、AD三者之间的关系即可，由勾股定理可得出AD²=AE²+ED²，AE²=AB²-BE²=AC²-CE²，ED=BD-BE=CE-CD，代入求出三者之间的关系即可得证．

证明：作AE⊥BC于E，如上图所示：
由题意得：ED=BD-BE=CE-CD，
∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴BE=CE=

12BC，
由勾股定理可得：
AB²+AC²=BC²，
AE²=AB²-BE²=AC²-CE²，
AD²=AE²+ED²，
∴2AD²=2AE²+2ED²=AB²-BE²+（BD-BE）²+AC²-CE²+（CE-CD）²
=AB²+AC²+BD²+CD²-2BD×BE-2CD×CE
=AB²+AC²+BD²+CD²-2×12BC×BC
=BD²+CD²，
即：BD²+CD²=2AD²．