已知定义在r上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)>0
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(1)令x=y=0,
由f(x+y)=f(x)+f(y)
f(0)=f(0)+f(0)
∴f(0)=0,
令y=-x,
f(x-x)=f(x)+f(-x)=0,
∴f(x)=f(-x,)f(x)在x∈R上是奇函数。
(2)由x>0,得f(x)>0,
∴f(x)>f(0)。
由奇函数在R上单调递增,
由f(x+y)=f(x)+f(y)
f(0)=f(0)+f(0)
∴f(0)=0,
令y=-x,
f(x-x)=f(x)+f(-x)=0,
∴f(x)=f(-x,)f(x)在x∈R上是奇函数。
(2)由x>0,得f(x)>0,
∴f(x)>f(0)。
由奇函数在R上单调递增,
追问
有没有这么简单啊。。。。
追答
(2)设x1<x2,则x1-x2<0,f (x1-x2)<0,
所以f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f (x1-x2)<0
故f(x)是R上的单调递增函数。
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