Question

已知定义在r上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)，且当x＞0时，f（x）＞0

（1）证明f（x）为奇函数
（2）判断f（x）在r上的单调性并证明

Answer 1

（1）令x=y=0，
由f（x+y）=f（x）+f（y）

f（0）=f（0）+f（0）
∴f（0）=0，

令y=-x，
f（x-x）=f（x）+f（-x）=0，

∴f(x)=f(-x,)f（x）在x∈R上是奇函数。
（2）由x＞0，得f（x）＞0，
∴f（x）＞f（0）。

由奇函数在R上单调递增，

追问

有没有这么简单啊。。。。

追答

（2）设x1<x2，则x1-x2<0,f (x1-x2)<0,
所以f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f (x1-x2)<0
故f(x)是R上的单调递增函数。