Question

如图，在四边形ABCD中，角ABC+角D=180度，AC平分角BAD，CE垂直于AB于点E，CF垂

如图，在四边形ABCD中，角ABC+角D=180度，AC平分角BAD，CE垂直于AB于点E，CF垂直于AD于点F。
求证：1、三角形CBE全等于三角形CDF。2、AB+AD=2AF

Answer 1

第一问：因为AC平分∠BAD
所以∠EAC=∠CAD
又因为CE⊥AE、CF⊥AD
所以∠AEC=∠AFC=∠CFD=90°
所以∠ACE=∠ACF
因为AC=AC
所以△ACE≌△ACF
所以CE=CF
又因为∠ABC＋∠D=180°、∠ABC+∠EBC=180°
所以∠EBC=∠D
所以∠BCE=∠FCD
因为CE=CF(已证）
所以△CBE≌△CDF

Answer 2

证明：（1）∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE=CF，
∵∠ABC+∠CBE=180°，∠ABC+∠D=180°
∴∠CBE=∠D，
在△CBE与△CDF中，

∠CBE＝∠D
∠BEC＝∠CFD
CE＝CD

∴△CBE≌△CDF（AAS）；

（2）∵△CBE≌△CDF（AAS），
∴BE=DF，
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠E=∠AFC=90°，
在Rt△AEC与Rt△AFC中，

AC＝AC
CE＝CF

∴Rt△AEC≌Rt△AFC（HL），
∴AE=AF，
∴AB+AD=AE+AF，
∴AB+AD=2AF．