Question

在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2=r2和直线l：x=a

（2013•南通二模）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x²+y²=r²和直线l：x=a（其中r和a均为常数，且0＜r＜a），M为l上一动点，A₁，A₂为圆C与x轴的两个交点，直线MA₁，MA₂与圆C的另一个交点分别为P、Q．
（1）若r=2，M点的坐标为（4，2），求直线PQ方程；
（2）求证：直线PQ过定点，并求定点的坐标．

找到了答案，但是有一点没懂，看附图吧~~

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Answer 1

[(a+r)y-t(x+r)][(a-r)y-t(x-r)]+s(x^2+y^2-r^2)=0表示的是一条2次曲线，经过四点P,Q,A1,A2。其中s是一个参数，你想像s越大，这个曲线越像圆，s越小，这个曲线越像一个X形。

[(a+r)y-t(x+r)][(a-r)y-t(x-r)]+s(x^2+y^2-r^2)=0

[(a^2-r^2)y^2+t^2(x^2-r^2)-2ty(ax-r^2)]+s(x^2+y^2-r^2)=0
让s=-t^2对上式子的作用是
[(a^2-r^2-t^2)y-2t(ax-r^2)]y=0
变成了两条直线，还是一个X形。
一条是y=0，就是直线A1,A2。
另一条是(a^2-r^2-t^2)y-2t(ax-r^2)=0不是A1,A2。所以只能是PQ。

题目背景为纯几何题目，如果你会一点射影几何，答案可以看出来，设PQ的过顶点为W。直线l是这个W的极线。W是l的极点。说白了就是A1,A2可以是圆上随便的2点，PQ依然会过定点W。W由l完全确定。

Answer 2

两式相减是焦点弦PQ的方程，这是一个定理