Question

如图所示在三角形abc中bd，cd是内角平分线，BP，CP是角ABC，角ACB的外角平分线，分别交

如图所示在三角形abc中bd，cd是内角平分线，BP，CP是角ABC，角ACB的外角平分线，分别交于D，P

Answer 1

解：
设△ABC中，∠ABC和∠ACB的内角平分线交于D，∠ABC的内角平分线与∠ACB的外角平分线交于E，∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线交于P，则有下列关系成立：
①∠BDC＝90＋∠A/2
②∠P＝90－∠A/2
证明过程如下：
1、
因为BD平分∠ABC，
所以∠DBC＝∠ABC/2
同理∠DCB＝∠ACB/2
因为∠DBC＋∠DCB＋∠BDC＝180°
所以∠BDC＝180°－∠DBC－∠DCB
＝180－(∠ABC＋∠ACB)/2
又因为∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°
所以∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A
所以∠BDC＝180°－(180°－∠A)/2
即∠BDC＝90°＋∠A/2
2、
如图，根据三角形内角和性质得：
∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A
∠BPC＝180°－(∠CBP＋∠BCP)
因为BP、CP为∠ABC，∠ACB的外角∠MBC和∠NCB的平分线
所以∠MBP＝∠CBP＝∠CBM/2
∠BCP＝NCP＝∠BCN/2
所以∠BPC＝180°－(∠CBP＋∠BCP)
＝180°－(∠CBM/2＋∠BCN/2)
＝180°－(∠CBM＋∠BCN)/2
因为∠CBM＝180°－∠ABC，∠BCN＝180°－∠ACB
所以∠BPC＝180°－(180°－∠ABC＋180°－∠ACB)/2
＝(∠ABC＋∠ACB)/2
＝(180°－∠A)/2
即∠P＝90°－∠A/2

由上知：
∠D＋∠P＝90°＋∠A/2＋90°－∠A/2＝180°
所以∠D＋∠P的度数不变化。∠D＋∠P的值是180度