Question

在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a≥b，sinA+根号3cosA=2sin

在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a≥b，sinA+根号3cosA=2sinB
(1)求角C的大小
(2)求a+b/c的最大值

Answer 1

（1）、sinA+根号3cosA=2（1/2sinA+根号3/2cosA）=2sin（A+π/3）=2sinB
所以A+π/3=B或者A+π/3+B=π，因为a≥b，所以A大于等于B,所以第一组情况不可能，所以只有A+π/3+B=π符合提议，所以C=π/3
（2）根据正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=m，所以（a+b）/c=（sinA+sinB/sinC）
sinC是个固定值，所以只需要求出sinA+sinB的最大值即可
sinA+sinB=sinA+sin（2/3π-A）=sinA+根号3/2cosA-1/2sinA=1/2sinA+根号3/2cosA=sin（A+π/3），其中A∈[π/3，π2/3），所以A+π/3∈[2π/3，π）
所以sinA+sinB的最大值=sin2π/3=根号3/2，所以（a+b）/c的最大值=根号3/2/sinC=1

Answer 2

1. 因为三角形内大角对大边，因为a≥b所以∠A≥∠B。根据sinA+√3cosA=2sinB，可以变形为2sin(A+π/3)=2sinB即sin(A+π/3)=sinB有∠A+π/3=∠B，或π-(∠A+π/3)=∠B，因为∠A≥∠B所以第一种情况不可能所以π-(∠A+π/3)=∠B，即∠A+∠B=2π/3于是∠C=π-∠A-∠B=π/3

2. 根据正弦定理(a+b)/c=(sinA+sinB)/sinC，利用和差化积公式(a+b)/c=(sinA+sinB)/sinC=4/√3* sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]=4/√3*sin(π/3)cos[(A-B)/2]=2cos[(A-B)/2]≤2当且仅当A=B=π/3时取得。所以(a+b)/c最大值2