Question

求数列an=n^2/2^n前n项和

求数列an=n^2/2^n前n项和

Answer 1

Sn=1/2+4/4+9/8+...+(n-1)²/2ⁿ⁻¹+n²/2ⁿ①
2Sn=1+4/2+9/4+...+n²/2ⁿ⁻¹②
②-①=Sn=1/1+3/2+5/4+7/8+...+(2n-3)/2ⁿ⁻²+(2n-1)/2ⁿ⁻¹-n²/2ⁿ
记Tn为(2n-1)/2ⁿ⁻¹的前n项和，则Sn=Tn-n²/2ⁿ。
Tn=1+3/2+...+(2n-1)/2ⁿ⁻¹③
2Tn=2+3+5/2+...+（2n-1）/2ⁿ⁻²④
④-③=Tn=2+2+1+1/2+...+1/2ⁿ⁻³-(2n-1)/2ⁿ⁻¹
=6-（2n+3）/2ⁿ⁻¹
故Sn=6-(2n+3)/2ⁿ⁻¹-n²/2ⁿ。