如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,CE平分∠ACB,交AB于E,EF⊥BC于F,求证:四边形AEFG是菱形.
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∵∠BAC=90°
∴AE⊥AC
∵CE平分∠ACB,EF⊥BC
∴AE=EF
Rt△ACE中，∠AEC+∠ACE=90°
Rt△CGD中，∠GCD+∠CGD=90°
且∠ACE=∠GCD
∴∠CGD=∠AEC
∵∠CGD=∠AGE
∴∠AGE=∠AEG
∴AG=AE
∴AG=AE=EF
∵AD⊥BC，EF⊥BC
∴AG∥EF
∴四边形AEFG是平行四边形
∵AE=EF
∴平行四边形AEFG是菱形
∴AE⊥AC
∵CE平分∠ACB,EF⊥BC
∴AE=EF
Rt△ACE中，∠AEC+∠ACE=90°
Rt△CGD中，∠GCD+∠CGD=90°
且∠ACE=∠GCD
∴∠CGD=∠AEC
∵∠CGD=∠AGE
∴∠AGE=∠AEG
∴AG=AE
∴AG=AE=EF
∵AD⊥BC，EF⊥BC
∴AG∥EF
∴四边形AEFG是平行四边形
∵AE=EF
∴平行四边形AEFG是菱形
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