Question

2013考研数学1，第4题关于二重积分的极坐标变换有疑问

请问I3，I4的后面的√2r是怎么算的？ 我们只学过x=rcosx，y=rsiny的变换

Answer 1

你好！
这里其实用到二重积分的换元法。书上也有这类例题。

以L3为例，L3的椭圆方程可化为x²/2 + y²=1，
作广义极坐标变换，有：x=(√2)rcosθ，y=rsinθ，
于是将XOY上的积分域D变为rOθ上的D‘，
知D‘上r∈[0，1]，θ∈[0，2π]，
=>D'上雅可比式J(r，θ)=∂(x，y)/∂(r，θ)=r√2，
=>dxdy=|J(r，θ)|drdθ=(√2)rdrdθ，(这里的|J(r，θ)|是行列式，微积分上册里有介绍的，估计你应该学过了，不作展开)，
全部换元就有∫∫D：f(x，y)dxdy=∫∫D’：f(x(r，θ)，y(r，θ))(√2)rdrdθ，就是答案解析里等号后面的积分式，
同理，对L4也作类似换元即可。

我上次的解法和这种其实差不多的，可能没这个直观而已。

祝愉快