Question

高一数学

设函数f(x)=(ax²+1)/bx (a,b∈Z)满足f(1)=2，f(2)＜3
(1)求a,b的值
(2)当x＜0时，判断函数单调性，并证明

Answer 1

【参考答案】

①由题意得：
(a+1)/b=2
即a=2b-1
又f(2)<3即 (4a+1)/(2b)<3
(8b-4+1)/(2b)<3
(8b-3)/(2b)<3
(8b-3-6b)/(2b)<0
(2b-3)/(2b)<0
0<b<1.5
∴b=1，则a=2-1=1
故 a=b=1

②由①知，f(x)=(x²+1)/x
令x1<x2<0，则
f(x2)-f(x1)
=[(x2²+1)/x2]-[(x1²+1)/x1]
=(x1x2²+x1-x1²x2-x2)/(x1x2)
=[x1x2(x2-x1)-(x2-x1)]/(x1x2)
=(x1x2-1)(x2-x1)/(x1x2)
当x≤-1时，x2<x2≤-1，则x1x2-1>0，于是f(x2)-f(x1)>0，函数单调递增；
当-1<x<0时，-1<x2<x1<0，则x1x2-1<0，于是f(x2)-f(x1)<0，函数单调递减。
∴综上所述，当x∈(-∞，-1]时，函数单调递增；当x∈(-1, 0)时，函数单调递减。

有不理解的地方欢迎追问。。。

Answer 2