Question

请问数学大神……这个行列式怎么解啊？？求教啊！！

Answer 1

由行列式的线性性, 可将原式(记为Dn)拆成两个行列式之和:
x1^2+1 x1x2 ... x1xn
x2x1 x2^2+1 ... x2xn
... ... ... ...
xnx1 xnx2 ... xn^2
与
x1^2+1 x1x2 ... 0
x2x1 x2^2+1 ... 0
... ... ... ...
xnx1 xnx2 ... 1

前者从第n列提出因子xn得: xn倍的
x1^2+1 x1x2 ... x1
x2x1 x2^2+1 ... x2
... ... ... ...
xnx1 xnx2 ... xn
再从第1, 2,..., n-1列分别减去第n列的x1, x2,..., x(n-1)倍得: xn倍的
1 0 ... x1
0 1 ... x2
... ... ... ...
0 0 ... xn
由此算得前者 = xn^2.

后者按第n-1列展开得:
x1^2+1 x1x2 ... x1x(n-1)
x2x1 x2^2+1 ... x2x(n-1)
... ... ... ...
x(n-1)x1 x(n-1)x2 ... x(n-1)^2+1
即原式在n-1阶的结果.
由此得到递推式: Dn = xn^2+D(n-1).
注意到D1 = 1+x1^2, 于是Dn = 1+x1^2+x2^2+...+xn^2.

注: 另一种方法是在最上面添加一行1, x1, x2,..., xn.
然后从各行依次减去其x1, x2,..., xn倍, 使除第1行, 第1列和主对角线外的元素都消成0.
最后分别将第2, 3,..., n+1列的x1, x2,..., xn倍加到第1列, 将行列式化为上三角.
详细的先不写了, 有疑问请追问.