Question

已知二次函数f(x)=ax²+bx+c(a,b,c∈R),满足f(-1)=0,是否存在常数a,b,c使得

已知二次函数f(x)=ax²+bx+c(a,b,c∈R),满足f(-1)=0,是否存在常数a,b,c使得x≤f(x)≤(1+x²）/2对一切x都成立。若存在，求得a,b,c的值；若不存在，说明理由。

Answer 1

解：∵f(-1)=0
∴a-b+c=0①
∵x≤f（x）≤ (1+x²) /2 对一切x∈R均成立，
∴当x=1时也成立，即1≤a+b+c≤1．
故有a+b+c=1．②
由①②得b=1/2，c=1/2 -a．
∴f（x）=ax²+1/2x+1/2 -a．
则x≤ax²+1/2x+1/2-a≤(1+x²) /2 对一切x∈R成立，
也即ax²-1/2x+1/2-a≥0
(1−2a)x²−x+2a≥0
故下面4个条件都必须同时符合：

a＞0

（－1/2）²－4a(1/2-a)≤0
1−2a＞0
1−4(1−2a)·2a≤0

解得a=1/4
∴c=1/2-a=1/4

∴当a=1/4，b=1/2,c=1/4时，x≤f(x)≤(1+x²）/2对一切x都成立。