Question

已知函数f(x)=ax²+bx+c(a≠0):f(0)=2，对任意实数都有f（x）≤2x+2且f（x）的对称轴为x=1，

已知函数f(x)=ax²+bx+c(a≠0):f(0)=2，对任意实数都有f（x）≤2x+2且f（x）的对称轴为x=1，
（1）求f（x）的解析式
（2）是否存在实数m，n(m<n),使f（x）的定义域为[m,n],值域为[3m，3n]？若存在，求出m，n的值;若不存在，请说明理由

Answer 1

f(0)=c=2，对称轴为-b/(2a)=1，所以，b=-2a
f(x)=ax^2-2ax+2<=2x+2 恒成立，所以，ax^2-2(a+1)x<=0，说明a=-1
因此，f(x)=-x^2+2x+2

因为f(x)=-(x-1)^2+3<=3
所以，值域的最大值也必须小于等于3，即3n<=3, n<=1
因为f(x)对称轴为1，所以若n<=1，说明定义域在对称轴左侧，即[m,n]内单调递增
所以，m,n应该是f(x)=3x的两个根，
-x^2+2x+2=3x
解得，x^2+x-2=0
m=-2, n=1

追问

ax^2-2(a+1)x<=0，说明a=-1为什么a=-1？？？

追答

对的