Question

已知函数y=√mx²-6mx+m+8的定义域是R，求实数m的取值范围。

我知道答案，
y=√(mx²-6mx+m+8)的定义域是R
∴mx²-6mx+m+8≥0恒成立
m=0不等式即8≥0，符合题意
m≠0时，不等式为二次不等式，
恒成立的条件是
m>0且Δ=36m²-4m(m+8)≤0
∴ m²-m≤0
∴0<m≤1
综上，m的取值范围是【0,1】

但不明白为什么m要大于等于0，难道不能小于0吗？而且为什么m＞0时Δ≤0，小于0不就无解了吗？

Answer 1

这个方法是按图像法解的，你把图像画出来就明白了

首先把m=0带进去看做一次函数解
然后就是你不懂得地方了：首先这个函数的定义域是R的意思就是说无论X取何值他都成立，把它看做二次函数的图像的话，他成立的条件就是永远大于等于0，也就是说图像必须全部在X轴上方或者顶点与X轴重合才行
如果m＜0那他就开口向下，这样的话就不可能全部在上方了，所以必须m＞0

就是要Δ≤0 所以函数无解或者只有一组解，这样的话他就与X轴无交点或者只有一个顶点和X轴重合，这也就是上面说的他永远大于等于0，即X无论取何值他都成立

Answer 2

同学，函数y=√mx²-6mx+m+8的定义域是R的意思是说，对任意的x属于R，要mx²-6mx+m+8≥0恒成立，如果m＜0，二次函数mx²-6mx+m+8的开口向下，肯定会有x使得mx²-6mx+m+8＜0，这样就不能开根号了啊。
Δ＜0是方程mx²-6mx+m+8=0无解，现在我们要mx²-6mx+m+8>0,就必须Δ≤0啊。你自己画个开口向上的二次函数图像看看，如果Δ＞0，那么肯定与x轴有交点，所以肯定有x使得mx²-6mx+m+8＜0，这样同样不能开根号了啊。

Answer 3

看二次函数的图像我们就好理解了
如果m＜0则二次函数是开口向下的抛物线则肯定小于0的时候所以不满足条件
当m大于零时，我们令g(x)=mx²-6mx+m+8，那么g(x)开口向上，为了始终有g(x)≥0则g(x)=0没有根或有一个根(一个根的时候就是抛物线与x轴相切了，也不存在小于零的部分)，所以有Δ≤0，这是就能保证g(x)恒大于等于0了

Answer 4