Question

两道高中数学题？

设x,y∈R，且x^2/4+y^2=1，求函数f(x,y)=x^2+2xy+y^2+x+2y的最小值和最大值?
解方程？
PS：老师说两道都可以用换元法来接，请大家用自己的方法解了之后，麻烦再用换元法解下，小弟在此 先行谢过了。o(∩_∩)o
用换元法啊，观察法这种东西是因人而异的啊。(┬＿┬)(┬＿┬)

Answer 1

1。设x,y∈R，且x²/4+y²=1，求函数z=x²+2xy+y²+2x+2y的最小值和最大值?
解：(原题是z=x²+2xy+y²+x+2y，遇到无法克服的困难，故把x改成了2x；解答仅供参考。)
将椭圆方程 x²/4+y²=1改写成参数方程得x=2cost，y=sint；代入欲求最值的函数式得：
z=4cos²t+4sintcost+sin²t+4cost+2sint.............(1)
令dz/dt=-8costsint+4cos²t-4sin²t+2sintcost-4sint+2cost
=-6costsint+4cos²t-4sin²t+2(cost-2sint)
=2(2cos²t-3costsint-2sin²t)+2(cost-2sint)
=2(2cost+sint)(cost-2sint)+2(cost-2sint)

=2(cost-2sint)(2cost+sint+1)=0

由cost-2sint=0，得tant=1/2；于是得t₁=arctan(1/2)；sint₁=1/√5；cost₁=2/√5；
由2cost+sint+1=0，得sint+tanφcost=(1/cosφ)(sintcosφ+costsinφ)=(1/cosφ)sin(t+φ)=-1
即有sin(t+φ)=-cosφ=sin(π/2+φ)，故得t+φ=π/2+φ，于是得t₂=π/2；
将t₁和t₂之值代入(1)得：z₁=16/5+8/5+1/5+8/√5+2/√5=5+10/√5=5+2√5；z₂=1+2=3.
即zmax=5+2√5，zmin=3.
[把题目中的x改成2x之后，也可用拉格朗日乘数法求解。若不改，会遇到高次方程]。
2。解方程(14+x)^(1/3)+(14-x)^(1/3)=4
解：只有一种组合：14+x=27......(1)；14-x=1........(2)；
(1)-(2)得2x=26，故x=13.

Answer 2

由于x^2/4+y^2=1(看成椭圆)
则参数式
x=2cost
y=sint
带入f(x,y)球三角函数就比较简单了,自己计算吧.

Answer 3

第二个用观察法3+1=4,当x=13时正好

Answer 4

(1)零点在两个区间内，只需考虑区间端点所对应的函数值的正负号，f（0）小于0，f（1）大于0，f（2）大于0，f（4）小于0，解吧~
（2）分别计算出f（-1）和f（0）
若都是同号则只有一个，反之有两个

Answer 5

(1)P等于C86乘以C75乘以C62除以A83
(2)P等于C86乘以C77乘以C65除以A83
剩下的都不会了