Question

如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，∠ABC=2∠C，求证AC²=AB²+AB·BC。

求证AC²=AB²+AB乘以BC。

Answer 1

AC²=AD²+CD²=AB²-BD²+CD²=AB²+(CD+BD)*(CD-BD)=AB²+BC*(CD-BD)
下证CD-BD=AB
在CD上选择一点E，使得DE=BD
则AD是△BAE边BE的垂直平分线，

∴AB=AE
∴∠ABD=∠AED=2∠C，
∵∠AED=∠EAC+∠C
∴∠C=∠EAC，
∴CE=AE，
∴CE=AB
∴CD-BD=CD-DE=CE=AB
∴AC²=AB²+BC*(CD-BD)
=AB²+BC*AB
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