Question

高中数学：已知函数f(x)=ax²+bx+c(a≠0):f(0)=2，对任意实数都有f（x）≤2x+2且f（x）的对称轴为x=1

已知函数f(x)=ax²+bx+c(a≠0):f(0)=2，对任意实数都有f（x）≤2x+2且f（x）的对称轴为x=1，
（1）求f（x）的解析式
（2）是否存在实数m，n(m<n),使f（x）的定义域为[m,n],值域为[3m，3n]？若存在，求出m，n的值;若不存在，请说明理由
（1）f(0)=c=2，对称轴为-b/(2a)=1，所以，b=-2a
f(x)=ax^2-2ax+2<=2x+2 恒成立，所以，ax^2-2(a+1)x<=0，说明a=-1
因此，f(x)=-x^2+2x+2

这里的ax^2-2(a+1)x<=0，说明a=-1为什么a=-1

Answer 1

解：（1）由f(0)=c=2，对称轴为-b/(2a)=1，所以，b=-2a
又f(x)=ax^2-2ax+2<=2x+2 恒成立，所以，ax^2-2(a+1)x<=0，所以a=-1
（ 函数ax^2-2(a+1)x方向朝下，与X轴最多只有一个交点，
即（2(a+1)）^2-4*a*0=4(a+1)^2<=0. a=-1)
因此，b=-2a=2 f(x)=-x^2+2x+2
(2) f(x)=-x^2+2x+2的对称轴为x=1，方向朝下，所以当x<=1时，函数单调递增，x>=1时，函数 单调递减
1 当n≤1时，m<n<=1,f(x)在[m,n]上单调递增，
故f(m)=-m^2+2m+2=3m,f(n)=-n^2+2n+2=3n,
解得m=-2.n=1;
2 当m>=1时，n>m>=1,f(x)在[m,n]上单调递减，
故f(m)=-m^2+2m+2=3n,f(n)=-n^2+2n+2=3m,
无解
3、当m<1<n时，f(1)=3=3n, n=1。不符合。
综上所述，m=-2,n=1

Answer 2

（1）由题意，f(0)=c=2,对称轴-2a/b=1;
ax²+bx+2≤2x+2恒成立，即ax²+(b-2)x≤0恒成立,故a<0,b=2

所以a=-1
f(x)=-x²+2x+2

(2)假设存在这样的实数m，n(m<n),使f（x）的定义域为[m,n],值域为[3m，3n]

1、当n≤1时，f(x)在[m,n]上单调增，故f(m)=3m,f(n)=3n,
解得m=-2.n=1;
2、当m大于或者等于1时，同样；
3、当m<1<n时，再讨论。
我没时间打了，有急事

追问

即ax²+(b-2)x≤0恒成立,故a<0,b=2

为什么b=2？？？

追答

亲，恒成立就是对任意的x，不等式都成立，所以b-2=0，a≤0,又a不等于0，所以a<0

追问

谢谢你啦，热心网友！！我就不选你了哦，还是谢谢你的讲解