Question

设集合A={（X,Y）/Y=2x-1,x∈N+}，B={（X，Y）/Y=ax²-ax+a,x∈N+}

设集合A={（X,Y）/Y=2x-1,x∈N+}，B={（X，Y）/Y=ax²-ax+a,x∈N+}，问是否存在非零整数a,使A∩B≠∅？若存在求出a的值及A∩B，若不存在理由

Answer 1

A∩B≠∅，即两函数有公共点
即存在非零整数a，使方程2x-1=ax²-ax+a有正整数解
ax²-(a+2)x+a+1=0
方程有解，需(a+2)²-4a(a+1)≥0，解得a＜0或a≥4/3
若方程没有正整数解，则两根和(a+2)/a＜0，且两根积(a+1)/a＞0
解得-2＜a＜-1
则方程有正整数解时，a≤-2，或a≥4/3
可观测出a=1时，A∩B={（1,1）}

追问

若方程没有正整数解，则两根和(a+2)/a＜0，且两根积(a+1)/a＞0解得-2＜a＜-1 这个不懂、、、

追答

我说得不够严密，应该“是若方程两根都是负数”

这是用了反证法，因为我们需要方程有正整数解，这包含了两根都是正数，或者一正一负，而反证法则求出当两根都是负数的情况，那么反过来就是我们要的