Question

如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C'出，BC'交AD于点E.

（1）试判断ΔBDE的形状，并说明理由；
（2）若AB=4，AD=8，求ΔBDE的面积.

Answer 1

(1)
AD//BC,∠ADB=∠CBD;
将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C'出,∠C'BD=∠CBD;
∠ADB=∠C'BD,
ED=EB,
ΔBDE为等腰三角形；
(2)
C'D=CD=AB
ED=EB,
C'E²=ED²-C'D²=EB²-AB²=AE²
C'E=AE
设AE=X,
BE=BC'-C'E=BC-AE=AD-X=8-X,
BE²=AB²+AE²
(8-X)²=4²+X²
64-16X+X²=16+X²
X=3
SΔBDE=SΔBAD-SΔBAE=AD*AB/2-AE*AB/2=8*4/2-3*4/2=10.

Answer 2

(1) ΔBDE是等腰三角形。
∵对折
∴∠CBD=∠C'BD
∵长方形
∴AD∥BC
∴∠EDB=∠CBD
即：∠EDB=∠C'BD
∴EB=ED
因此，ΔBDE是等腰三角形。
(2) CD=AB=4
BC=AD=8
BD=√(BC²+CD²)
=√(8²+4²)
=4√5
tan∠C'BD=tan∠CBD
=CD/BC
=4/8
=1/2
过E点作EF⊥BD于F
EF=1/2BD*tan∠C'BD
=1/2*4√5*1/2
=√5
SΔBDE=1/2*BD*EF
=1/2*4√5*√5
=10

Answer 3

（1）容易证明角EBD=角EDB（请自己证明），
所以三角形BDE是等腰三角形

（2）过E点向BD引垂线，垂足为F，
则容易证明三角形EBF相似于三角形BCD（角角）
用勾股定理求得BD=根号（16+64）=4根号5
则，BF=0.5*BD=2根号5
三角形EBF与三角形DBC相似比=（2根号5）/8=（根号5）/4
三角形EBF的面积=16*（根号5/4）^2=5
ΔBDE的面积.=2*三角形EBF的面积=5*2=10