Question

一道高一必修一的数学题，大神快点，等下就要上学了，在线等答案！

已知函数f(x)在区间G上有定义,若对任意x1.x2属于G,有f(x1+x2/2)≤1/2[f(x1)+f(x2)],则称f(x)为区间G上的凹函数。
判断下列函数是会否为给定区间上的凹函数？并分别予以证明。
1， f（x）=负2乘以x的平方，x属于R
2， f（x）=2的x次方， x属于R

求大神啊

Answer 1

【参考答案】

①f(x)=-2x² ，x∈R
设x1、x2∈R且x1<x2，则
f[(x1+x2)/2]-(1/2)[f(x1)+f(x2)]
=-2[(x1+x2)/2]²-(1/2)[-2x1²+(-2)x2²]
=(-1/2)(x1²+2x1x2+x2²)+x1²+x2²
=(1/2)x1²-x1x2+(1/2)x2²
=(1/2)(x2-x1)²
>0
∴f[(x1+x2)/2]>(1/2)[f(x1)+f(x2)]
即函数f(x)=-2x²不是所给区间上的凹函数。

②f(x)=2^x ，x∈R
设x1、x2∈R且x1<x2，则
f[(x1+x2)/2]-(1/2)[f(x1)+f(x2)]
2^[(x1+x2)/2] -(1/2)[(2^x1)+(2^x2)]
=[(√2)^(x1+x2)]-[2^(x1-1)]-[2^(x2-1)]
=[(√2)^(x1+x2)]-[(√2)^(2x1-2)]-[(√2)^(2x2-1)]
=[(√2)^x1]×[(√2)^x2]-(1/2)[(√2)^(2x1) +(√2)^(2x2)]
<0
∴f[(x1+x2)/2]<(1/2)[f(x1)+f(x2)]
即函数f(x)=2^x是所给区间上的凹函数。

有不理解的地方欢迎追问。。。

Answer 2

第二个是的，设X1<X2,然后代入解析式相减，就可以判断它们的大小，与定义相同的就是凹函数。第一个是凸函数，第二个是凹函数。

追问

诶那个啥，能否详细一点，学渣我听不懂啊，谢谢了！！！！