Question

关于线性代数中向量空间的问题

设V1和V2都是向量空间
V=V1×V2，请问V表示什么？我翻了好几本书都没有看到向量空间叉乘向量空间表示什么，话说向量空间不是向量的集合吗，它们叉乘是啥意思求指教。
M=﹛（x1，t2）：x1∈V1﹜，t2是V2的0向量。请问M表示什么？它是一个向量空间吗？

希望说的通俗详细一点，谢谢拉！

Answer 1

判断集合对向量的加法与数乘运算是否封闭。
1、v1是第一个分量为1的n维向量的集合。v1中任意两个向量相加后第一个分量是2，而不是1，所以v1对向量的加法运算不封闭。所以，v1不是向量空间。
2、v2是第一个分量为0的n维向量的集合。v2中任意两个向量子相加后第一个分量都是0，所以v2对向量的加法运算封闭。v2中任意一个向量与任意实数相乘后，第一个分量还是0，所以v2对数乘运算封闭。所以，v2是向量空间。

Answer 2

×是集合与集合的一种运算，称为笛卡尔积，A×B={(x,y)|x∈A,y∈B}。二维向量空间R^2可看作R×R，R^3,...,R^n也都可以这样理解，其中R^2，R^3从几何上理解会更直白些，代表平面坐标系与空间坐标系。

M={(x1,t2)|x1∈V1}是V1×V2的一个子集，也是向量空间
施主，我看你骨骼清奇，
器宇轩昂,且有慧根,
乃是万中无一的武林奇才，
潜心修习,将来必成大器。
吾手中正好有一本宝典,欲赠于施主
鄙人有个小小的考验
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Answer 3

×是集合与集合的一种运算，称为笛卡尔积，A×B={(x,y)|x∈A,y∈B}。二维向量空间R^2可看作R×R，R^3,...,R^n也都可以这样理解，其中R^2，R^3从几何上理解会更直白些，代表平面坐标系与空间坐标系。

M={(x1,t2)|x1∈V1}是V1×V2的一个子集，也是向量空间

追问

1.我所知的向量空间是指【一个列向量的集合】，请问A×B={(x,y)|x∈A,y∈B}这个向量空间具体是指什么呢？（x，y）是指两个列向量组成的n×2的矩阵吗？
2.我记得书上说二维向量空间是指基的个数为2的向量空间，您这里所说的二位向量空间似乎不是这个意思？

麻烦您了，谢谢

追答

如果A,B,C...是实数集R的非空子集，那么A×B，A×B×C....都是向量空间，且分别是R^2，R^3...的子空间。

如果A,B,..等不仅仅是R的子集，还是R^2，R^3等的子集，那么笛卡尔积A×B就不是我们常说的向量空间了，只能称之为线性空间。

向量空间的维数还是取决于基所含向量个数，与组成向量空间的向量的维数是两回事。