Question

已知函数f（x）的定义域为R，对任意的实数xy都有f（x+y）=f（x）+f（y）+1/2，且f（

已知函数f（x）的定义域为R，对任意的实数xy都有f（x+y）=f（x）+f（y）+1/2，且f（1/2）=0，当x＞1/2时，f（x）＞0，试判断f（x）的增减性

Answer 1

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解：f(x)在R上单调递增
证明：
f(0+1/2)=f(0)+f(1/2)+1/2
故f(0)=-1/2
f(1/2-1/2)=f(1/2)+f(-1/2)+1/2=f(0)
故f(-1/2)=-1
在定义域R中，设a>b,令a=b+c,此时必定有c>0.
由题意可知，
f(a)=f(b+c)=f(b)+f(c)+1/2
则f(a)-f(b)=f(c)+1/2
又f(c)=f(c+1/2-1/2)=f(c+1/2)+f(-1/2)+1/2=f(c-1/2)-1/2
因为c>0.故c+1/2>1/2.即有f(c+1/2)>0
所以f(a)-f(b)=f(c)+1/2=f(c+1/2)-1/2+1/2=f(c+1/2)>0
即在x的定义域内，当a>b时，恒有f(a)>f(b)
所以f(x)为单调递增.
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